นิยามและการตั้งฉาก
เพื่อเข้าใจโครงสร้างของเมทริกซ์ เราต้องกำหนดความหมายของการที่พื้นที่ย่อยตั้งฉากกันก่อน ซึ่งเป็นเงื่อนไขที่เข้มงวดกว่าการตั้งฉากของเวกเตอร์ธรรมดา
- การตั้งฉากของพื้นที่ย่อย: พื้นที่ย่อยสองชุด $V$ และ $W$ ของปริภูมิเวกเตอร์จะตั้งฉากกันถ้า ทุก เวกเตอร์ $v$ ใน $V$ ตั้งฉากกับ ทุก เวกเตอร์ $w$ ใน $W$ โดยนัยสำคัญ: $v^T w = 0$ สำหรับทุก $v \in V$ และทุก $w \in W$
- ส่วนประกอบที่ตั้งฉาก ($V^\perp$): ส่วนประกอบที่ตั้งฉากของพื้นที่ย่อย $V$ จะประกอบด้วย ทุก เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับ $V$ มันถูกเขียนแทนด้วย $V^\perp$ (อ่านว่า "เวกเตอร์เปอร์พ")
ทฤษฎีบทพื้นฐานของการตั้งฉาก
เอกลักษณ์หลักของพีชคณิตเชิงเส้นเชื่อมโยงการกระทำของเมทริกซ์กับเรขาคณิตของพื้นที่ต่างๆ ของมัน:
หาก $x$ อยู่ในพื้นที่ศูนย์ $N(A)$ แล้ว $Ax = 0$ หมายความว่าผลคูณจุดของแถวแต่ละแถวของ $A$ กับ $x$ เป็นศูนย์ ดังนั้นเพราะพื้นที่แถว $C(A^T)$ ถูกสร้างโดยแถวเหล่านี้ ทุกเวกเตอร์ในพื้นที่แถวนี้ต้องตั้งฉากกับ $x$
$$x^T(A^T y) = (Ax)^T y = 0^T y = 0$$
สิ่งนี้นำไปสู่สมดุลของมิติอย่างสวยงาม ใน $\mathbb{R}^n$ มิติของพื้นที่ต่างๆ จะเติมเต็มกันเสมอ: $\dim(C(A^T)) + \dim(N(A)) = n$ เช่นเดียวกัน ใน $\mathbb{R}^m$ เราจะได้ $\dim(C(A)) + \dim(N(A^T)) = m$
ตัวเลือกเฟรดโฮล์ม
มีความเป็นคู่ที่โครงสร้างอยู่ ซึ่งมีเพียงหนึ่งในสองปัญหานี้เท่านั้นที่มีคำตอบ
- $Ax = b$: เวกเตอร์ $b$ อยู่ในพื้นที่คอลัมน์
- $A^T y = 0$ พร้อมกับ $y^T b = 1$: $b$ มีส่วนประกอบในพื้นที่ศูนย์ด้านซ้าย ทำให้ระบบไม่สอดคล้องกัน